Stokes 定理 |
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Stokes 定理是微积分基本定理在高维空间的推广. 它说明微分形式 ω 在光滑流形 M 的边界上的积分等于其外微分在 M 上的积分:∫Mdω=∫∂Mω. 目录1定理与证明2特例Newton–Leibniz 公式Green 公式Kelvin–Stokes 公式Ostrogradsky–Gauß 公式散度定理3相关概念1定理与证明定理 1.1 (Stokes). 设 M 是定向带边 n 维光滑流形, ω 是 M 上的紧支 (n−1)-形式. 则∫Mdω=∫∂Mω.特别地, 如果 ∂M=∅, 则 ∫Mdω=0. 证明. 取 M 的坐标图册 {Ui}i∈I, 其中每个开集都同胚于 n 维空间或者闭半空间. 取支于其上的单位分解, 即 M 上一族非负光滑函数 {φi}i∈I, 满足 φi 支集紧、包含于 Ui, M 上每点都有邻域上面只有有限个 φi 非零, 以及 ∑i∈Iφi=1. 令 ωi=φiω, 则 ∑i∈Iωi=ω. 又由于 ω 紧支, 只有有限个 ωi 非零, 于是只需对每个 ωi 证明定理. 这样便只需证 M 是 n 维空间和闭半空间的情形. 以下分别证之. M=Rn. 此时写出 ω=∑i=1nfidx1∧⋯∧dxi∧⋯∧dxn, 其中 ^ 表示不出现. 只需对求和中每一项证明定理; 置换坐标可设只有第一项, 即 ω=fdx2∧⋯∧dxn. 此时 dω=∂x1∂fdx1∧⋯∧dxn. 由 Fubini 定理和微积分基本定理, 左边=∫Rn−1(∫R∂x1∂fdx1)dx2⋯dxn=∫Rn−1f(⋅,x2,…,xn)∣∣−∞+∞dx2⋯dxn=∫Rn−10dx2⋯dxn=0=右边,因为 f 紧支. M={x∈Rn∣x1≤0}. 此时仍写 ω=∑i=1nfidx1∧⋯∧dxi∧⋯∧dxn. 仍只需对求和中每一项证明定理. 后 n−1 项的计算和上一段一样是 0. 对第一项, 由 Fubini 定理和微积分基本定理, 左边=∫Rn−1(∫−∞0∂x1∂fdx1)dx2⋯dxn=∫Rn−1f(⋅,x2,…,xn)∣∣−∞0dx2⋯dxn=∫0×Rn−1fdx2⋯dxn=右边,由于带边流形的定向约定.□ 2特例 Newton–Leibniz 公式在 Stokes 定理 (定理 1.1) 中取 M=[a,b], 可以得到光滑版本的 Newton–Leibniz 公式:∫abf′(t)dt=f(b)−f(a). Green 公式设 C 是 R2 中一条光滑简单闭曲线, 由 Jordan 曲线定理知它围成一个区域 D. 设 f,g 是定义在 Dˉ 上的光滑函数. 在 Stokes 定理 (定理 1.1) 中取 M=D, ω=fdx+gdy, 得到光滑版本的 Green 公式:∫C(fdx+gdy)=∫D(∂x∂g−∂y∂f)dxdy.其中 C 的定向取成绕逆时针的定向. Kelvin–Stokes 公式设 Σ 是 R3 中一个可定向的光滑曲面, 带有边界 C. 设 P,Q,R 是定义在 Σ 上的光滑函数. 在 Stokes 定理 (定理 1.1) 中取 M=Σ, ω=Pdx+Qdy+Rdz, 得到 Kelvin–Stokes 公式:∫C(Pdx+Qdy+Rdz)=∫Σ((∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy).其中 Σ 的定向和 C 的定向满足右手定则. Ostrogradsky–Gauß 公式设 Σ 是 R3 中的一个光滑简单闭曲面, 由 Jordan–Brouwer 分离定理知它围成一个区域 Ω. 设 P,Q,R 是定义在 Ωˉ 上的光滑函数. 在 Stokes 定理 (定理 1.1) 中取 M=Ω, ω=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy, 得到 Ostrogradsky–Gauß 公式:∫Σ(Pdydz+Qdzdx+Rdzdx)=∫Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dxdydz.其中 Σ 的定向由外法向量给出. 散度定理用 Hausdorff 测度, 或者更一般的 Riemann 体积形式, 可以把 Green 公式和 Ostrogradsky–Gauß 公式写成更好看的形式, 并且推广到一般的 Riemann 流形上, 这就是散度定理. 定理 2.1 (散度定理). M 是定向 n 维 Riemann 流形, X 是其上光滑向量场, 则∫MdivX=∫∂M⟨X,n⟩.其中 n 是 ∂M 的外法向量, divX 是 X 的散度. 3相关概念• Poincaré 引理 • de Rham 定理 • Cauchy 积分公式
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